Vous avez entendu parler du modèle Black-Scholes et ça vous semble trop compliqué ? Vous voulez comprendre comment marche cette formule qui a changé la finance ? Vous cherchez une méthode pour calculer le prix juste d’une option ?
Cet article va tout vous expliquer simplement. On va voir ensemble comment la formule Black-Scholes fonctionne pour trouver le prix d’une option, étape par étape et sans jargon inutile.
Qu’est-ce que le modèle Black-Scholes ? Une définition simple
Le modèle Black-Scholes est un outil mathématique. Son but est de donner la valeur théorique d’une option de type européen. Une option est un contrat qui donne le droit, mais pas l’obligation, d’acheter ou de vendre un actif (comme une action) à un prix fixé, avant une certaine date.
Avant ce modèle, déterminer le « bon » prix d’une option était très subjectif. Les traders se basaient beaucoup sur leur intuition. L’innovation de Black et Scholes a été de créer une formule qui calcule ce prix de manière objective, en se basant sur des facteurs de marché connus.
Un peu d’histoire : La formule a été publiée en 1973 par les économistes Fischer Black et Myron Scholes. Robert C. Merton a aussi contribué en développant la formule. Scholes et Merton ont reçu le Prix Nobel d’économie en 1997 pour ces travaux. Fischer Black, lui, était déjà décédé.
Leur idée de génie a été de comprendre que l’on pouvait créer un portefeuille sans risque en combinant l’achat de l’actif sous-jacent et la vente de l’option. Le rendement de ce portefeuille doit être égal au taux d’intérêt sans risque. C’est ce principe qui est au cœur de la formule.
Les 7 hypothèses fondamentales du modèle
Pour que la formule fonctionne, Fischer Black et Myron Scholes ont dû poser des conditions. Le modèle ne marche que dans un monde financier « parfait », qui n’existe pas dans la réalité. Il est important de connaître ces hypothèses pour comprendre les limites du modèle.
Voici les conditions de base du modèle Black-Scholes :
- Le type d’option : Le modèle ne s’applique qu’aux options de type européen. Cela veut dire que le droit d’acheter ou de vendre ne peut être exercé qu’à la date d’échéance du contrat, pas avant.
- Les dividendes : L’actif sous-jacent (l’action, par exemple) ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l’option.
- Le marché : Le marché est supposé efficient et sans friction. Il n’y a pas de coûts de transaction (pas de frais de courtage) et pas de taxes. On peut acheter et vendre n’importe quelle quantité d’actif à tout moment.
- Le taux d’intérêt : Le taux d’intérêt sans risque est connu et constant. C’est le taux qu’on obtiendrait avec un placement 100% sûr, comme une obligation d’État.
- La volatilité : La volatilité du prix de l’actif sous-jacent est connue et constante. C’est l’hypothèse la plus critiquée, car dans la réalité, la volatilité change tout le temps.
- La distribution des rendements : Les rendements de l’actif suivent une distribution normale (loi de Gauss). En gros, les variations extrêmes de prix sont considérées comme très rares.
- Le temps : Les transactions peuvent se faire en temps continu.
Ces hypothèses sont la base du modèle. C’est aussi à cause d’elles que le modèle a ses faiblesses, comme on le verra plus tard.
La Formule Black-Scholes expliquée pour un Call et un Put
On arrive au cœur du sujet : la formule. Il en existe deux versions principales. Une pour l’option d’achat (Call), qui donne le droit d’acheter un actif. Et une pour l’option de vente (Put), qui donne le droit de le vendre.
Ne vous laissez pas impressionner par les symboles. On va décomposer chaque élément juste après.
Formule pour une option d’achat (Call)
Le prix d’un Call, noté C, se calcule comme ça :
Chaque lettre a une signification précise. Voici à quoi correspond chaque variable de la formule.
| Variable | Description |
|---|---|
| C | Le prix de l’option d’achat (Call) que l’on cherche à calculer. |
| S₀ | Le prix actuel de l’actif sous-jacent (le cours de l’action aujourd’hui). |
| K | Le prix d’exercice (Strike). C’est le prix auquel on a le droit d’acheter l’actif. |
| r | Le taux d’intérêt sans risque (exprimé en décimal, ex: 5% = 0,05). |
| t | Le temps restant jusqu’à l’échéance de l’option (exprimé en années, ex: 6 mois = 0,5). |
| σ (Sigma) | La volatilité de l’actif sous-jacent. C’est la mesure de l’amplitude de ses variations de prix. |
| N(x) | La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. C’est une valeur qu’on trouve dans une table statistique. Elle donne la probabilité qu’une variable aléatoire soit inférieure à x. |
| e | La base du logarithme naturel (environ 2,71828). |
Les termes d₁ et d₂ sont des variables intermédiaires qu’il faut calculer en premier. Ils intègrent la plupart des paramètres de la formule.
d₂ = d₁ – σ * √t
Formule pour une option de vente (Put)
La logique est similaire pour une option de vente (Put). La formule, notée P, est la suivante :
Vous remarquez que la formule du Put utilise les mêmes variables d₁ et d₂ que celle du Call, mais avec des signes négatifs dans la fonction N(x).
Exemple de calcul concret : Valoriser une option Call pas à pas
La théorie, c’est bien. Mais un exemple concret est plus parlant. Imaginons qu’on veuille calculer le prix d’une option d’achat (Call) sur une action.
Les données de départ
On va poser des chiffres pour chaque variable de la formule :
- Prix actuel de l’action (S₀) : 102€
- Prix d’exercice de l’option (K) : 110€
- Temps jusqu’à l’échéance (t) : 6 mois, soit 0,5 an
- Taux d’intérêt sans risque (r) : 4% par an, soit 0,04
- Volatilité de l’action (σ) : 20% par an, soit 0,20
Étape 1 : Calcul de d₁
On remplace les valeurs dans la formule de d₁ :
d₁ = [ ln(102/110) + (0,04 + 0,20²/2) * 0,5 ] / (0,20 * √0,5)
d₁ = [ ln(0,927) + (0,04 + 0,02) * 0,5 ] / (0,20 * 0,707)
d₁ = [ -0,0758 + (0,06) * 0,5 ] / 0,1414
d₁ = [ -0,0758 + 0,03 ] / 0,1414
d₁ = -0,0458 / 0,1414
d₁ ≈ -0,3239
Étape 2 : Calcul de d₂
Maintenant que l’on a d₁, le calcul de d₂ est facile :
d₂ = d₁ – σ * √t
d₂ = -0,3239 – (0,20 * √0,5)
d₂ = -0,3239 – (0,20 * 0,707)
d₂ = -0,3239 – 0,1414
d₂ ≈ -0,4653
Étape 3 : Trouver N(d₁) et N(d₂)
C’est ici qu’intervient la table de la loi normale. C’est un tableau statistique qui donne la probabilité associée à une valeur. On cherche nos valeurs de d₁ et d₂ dans cette table.
- Pour d₁ = -0,32, la table nous donne N(-0,32) ≈ 0,3745. Donc N(d₁) = 0,3745.
- Pour d₂ = -0,47 (on arrondit), la table nous donne N(-0,47) ≈ 0,3192. Donc N(d₂) = 0,3192.
Étape 4 : Appliquer la formule finale du Call
On a toutes les pièces du puzzle. Il ne reste plus qu’à les assembler dans la formule du Call :
C = S₀ * N(d₁) – K * e-rt * N(d₂)
C = 102 * 0,3745 – 110 * e-(0,04*0,5) * 0,3192
C = 38,199 – 110 * e-0,02 * 0,3192
C = 38,199 – 110 * 0,9802 * 0,3192
C = 38,199 – 34,44
C ≈ 3,76€
Selon le modèle Black-Scholes, la valeur de cette option d’achat est d’environ 3,76€.
Les limites et critiques du modèle : Pourquoi il n’est pas parfait
Le modèle Black-Scholes a été une avancée énorme pour la finance. Mais il n’est pas parfait, principalement à cause de ses hypothèses irréalistes. Connaître ses défauts est aussi important que de savoir l’utiliser.
La critique la plus forte concerne l’hypothèse d’une volatilité constante et d’une distribution normale des rendements. Dans la réalité, la volatilité des marchés financiers change constamment. De plus, les événements extrêmes (krachs, crises) sont bien plus fréquents que ce que la loi normale prédit. Ces « cygnes noirs » sont sous-estimés par la formule.
Un exemple historique : Le krach boursier de 1987 a été un choc pour les utilisateurs du modèle. Le marché a chuté de plus de 20% en une seule journée, un événement que la formule considérait comme quasiment impossible. Cela a montré que les risques étaient bien plus élevés que prévu.
Le « smile de volatilité »
Après le krach de 1987, les traders ont remarqué un phénomène étrange. Pour des options avec le même actif sous-jacent et la même date d’échéance, la volatilité utilisée pour que le prix du modèle colle au prix du marché n’était pas la même. Elle était plus élevée pour les options très « dans la monnaie » ou très « hors de la monnaie ».
Quand on représente cette volatilité sur un graphique, elle forme une courbe qui ressemble à un sourire. C’est ce qu’on appelle le smile de volatilité. C’est une preuve que l’hypothèse de volatilité constante du modèle de Fischer Black et Myron Scholes est fausse. Les acteurs de marché ajustent leurs prix pour se couvrir contre les risques extrêmes que le modèle ignore.
Les lettres grecques : Mesurer les risques d’une option
Le modèle Black-Scholes ne donne pas seulement un prix. Il permet aussi de calculer des indicateurs de risque, appelés les lettres grecques. Ce sont des mesures qui indiquent comment le prix d’une option réagit aux changements des différents paramètres.
C’est un outil essentiel pour la gestion des risques des portefeuilles d’options. Voici les plus importantes :
- Delta : Mesure la sensibilité du prix de l’option à une variation de 1€ du cours de l’actif sous-jacent. Un delta de 0,6 signifie que si l’action gagne 1€, l’option gagne 0,60€.
- Gamma : Mesure la vitesse de variation du Delta. C’est la sensibilité du Delta lui-même aux mouvements du sous-jacent.
- Thêta : Mesure l’impact du temps qui passe sur le prix de l’option. Le Thêta est généralement négatif : plus on se rapproche de l’échéance, plus l’option perd de sa valeur.
- Vega : Mesure la sensibilité du prix de l’option à un changement de 1% de la volatilité.
Ces indicateurs, tous dérivés de la formule Black-Scholes, sont utilisés quotidiennement par les professionnels de la finance pour ajuster leurs positions.
FAQ – 3 questions fréquentes sur Black & Scholes
1. Le modèle Black-Scholes s’applique-t-il aux options américaines ?
Non, le modèle original a été conçu uniquement pour les options européennes, qui ne peuvent être exercées qu’à l’échéance. Les options américaines peuvent être exercées à tout moment, ce qui les rend plus complexes à valoriser. Des adaptations du modèle, comme le modèle de Black, ont été développées pour prendre en compte cette possibilité d’exercice anticipé.
2. Comment estime-t-on la volatilité (σ) ?
C’est la grande question et le paramètre le plus difficile à déterminer. Il y a deux méthodes principales. La volatilité historique se base sur les variations de prix passées de l’actif. La volatilité implicite est la valeur de volatilité qui, une fois insérée dans la formule Black-Scholes, donne le prix actuel de l’option sur le marché. C’est la méthode la plus utilisée par les traders.
3. Le modèle Black-Scholes est-il encore utilisé aujourd’hui ?
Oui, absolument. Malgré ses défauts et ses hypothèses simplistes, le modèle Black-Scholes reste une référence dans le monde de la finance. Il sert de base pour des modèles plus complexes et plus réalistes. Il fournit un langage commun et un point de départ pour l’évaluation de presque tous les types de dérivés.
